Análise da média-variância O que é uma análise da média-variância Uma análise da média-variância é o processo de pesar o risco (variação) de encontro ao retorno esperado. Analisando o retorno esperado ea variação de um ativo, os investidores tentam fazer escolhas de investimento mais eficientes buscando a menor variação para um determinado retorno esperado ou buscando o maior retorno esperado para um determinado nível de variação. Análise da média-variância A análise da média-variância é um componente da teoria da carteira moderna. O que pressupõe que os investidores tomam decisões racionais e esperam um maior retorno para o aumento do risco. Há dois fatores principais na análise da média-variância: variação e retorno esperado. A variância representa a forma como os números dos conjuntos de dados estão espalhados, como a variabilidade nos retornos diários ou semanais de uma segurança individual. O retorno esperado é uma avaliação de probabilidade subjetiva sobre o retorno do estoque. Se dois investimentos têm o mesmo retorno esperado, mas um tem uma variância menor, aquele com a menor variância é a melhor escolha. Diferentes níveis de diversificação podem ser alcançados em uma carteira combinando estoques com diferentes variâncias e retornos esperados. Cálculos de exemplo Um retorno esperado de carteiras é a soma do retorno esperado de cada componente de segurança multiplicado pelo seu peso na carteira. Por exemplo, suponha que os dois seguintes investimentos estão em uma carteira: Investimento A: valor 100.000 e retorno esperado de 5 Investimento B: valor 300.000 e retorno esperado de 10 Considerando um valor total da carteira de 400.000, o peso de cada ativo é: Peso 100.000 400.000 25 Investimento B 300.000 400.000 75 Assim, o retorno esperado total da carteira é: Rentabilidade esperada da carteira (25 x 5) (75 x 10) 8.75 A variação da carteira é ligeiramente mais complicada, não é uma simples média ponderada da carteira Variações nos investimentos. Como os dois ativos podem se mover em relação um ao outro, sua correlação deve ser levada em conta. Para este exemplo, suponha que a correlação entre os dois investimentos é 0,65. A variação da carteira para uma carteira de dois ativos é encontrada usando a seguinte equação: Variância da carteira w (1) 2 xo (1) o peso da carteira do Investimento A o (1) o padrão (2) o desvio padrão do Investimento B p a correlação entre o Investimento A eo Investimento B Neste exemplo, a variação da carteira é: Variação da Carteira (25 2 x 7 2 ) (75 2 x 14 2) (2 x 25 x 75 x 7 x 14 x 0,65) 0,0137 O desvio padrão da carteira é a raiz quadrada desse número, ou 11,71.Investimentos: Aula 3 Teoria da variância média Philip H. Dybvig Washington Universidade de Saint Louis Teoria da decisão Teoria da variância média Meios, variâncias e covariâncias O valor da diversificação Escolha de carteira óptima previous lect Próxima conferênciaCopyright copy Philip H. Dybvig 1997, 2000 Teoria da decisão Teoria da decisão nos dá um quadro conceitual para formalizar a escolha ideal. Este quadro é quase indispensável se queremos resolver para uma escolha ideal, e também é útil para pensar sobre um problema de escolha, mesmo se vamos usar uma combinação de intuição e análise informal para tomar a decisão final. As partes essenciais de um problema de escolha são as variáveis de escolha. A função objetivo. E as limitações. Podemos também ter parâmetros. Que são entradas para o problema de escolha que pode ser variado. Um simples problema de decisão dos consumidores As variáveis de escolha são c1. C2. E c3. Que são gastos em três classes de bens de consumo. A função objetivo é U (c1, c2, c3). Que representa as preferências dos consumidores por diferentes padrões de consumo. Há quatro restrições. A restrição orçamentária e três restrições de positividade. Alguns parâmetros do problema incluem os preços p1. P2. E p3. E riqueza W. Podem existir parâmetros adicionais que descrevam os recursos da função de utilidade. Os parâmetros não são escolhidos como parte da decisão que os deixamos flexíveis para nos permitir estudar, por exemplo, a sensibilidade do consumo de um bom ao seu preço. Um problema de investimento simples As variáveis de escolha são q1. Q2. E q3. Que são investimentos proporcionais em três títulos diferentes. A função objetivo é Eu (w1). Que representa as preferências dos investidores em relação a diferentes recompensas aleatórias. A primeira restrição é a restrição orçamentária que as proporções na soma de títulos para um, ea segunda restrição define o payl w1 dado os montantes investidos e os retornos aleatórios r1. R2. E r3 nos três títulos. Para completar esta especificação, teríamos de especificar a função de utilidade u especial ea distribuição de probabilidade conjunta dos retornos. Um problema de investimentos ainda mais simples Suponha que haja dois ativos, um ativo sem risco 1 com retorno 10 e um ativo de risco 2 com retornos igualmente prováveis -10 e 50. Assumindo que a função de utilidade é u (w1) w1-.004w12 ea riqueza inicial É 100, podemos substituir nas restrições (eg q1 100-q2) e usar álgebra elementar para reduzir o problema de escolha anterior para o seguinte. A solução é q2 .15. Ou seja, 15 de riqueza deve estar no ativo de risco e 85 no ativo sem risco. (Uma maneira de provar isso é escrevendo a função objetivo como 61.69 - 4.0 (q2 - 0.15) 2). Esta é uma estratégia muito conservadora, se uma solução menos conservadora surgisse se substituíssemos .004 por um número menor, representando uma menor aversão Risco. Um problema de investimento ainda mais simples (detalhes da álgebra) (já que o quadrado não pode ser negativo), que é o valor quando q20 Tipos de problemas de portfólio Para uma escolha de carteira de indivíduos, o problema de escolha nos slides anteriores é um bom começo. Na maioria dos contextos institucionais, existem pelo menos dois níveis de gestão. No nível mais alto, o patrocinador do plano (o representante dos beneficiários) deve escolher proporções da carteira a serem alocadas a diferentes classes de ativos e mais especificamente como alocar fundos dentro de cada classe de ativo para diferentes gerentes (que podem ou não estar em - casa). Chamamos esta seleção de alocação de ativos de classes de ativos ampla. O problema do gerente específico (que pode gerenciar uma carteira de ações ou títulos do governo ou obrigações convertíveis), chamamos de gerenciamento de subportfolio. Tradicionalmente, as finanças acadêmicas não analisaram os problemas de subportfolio, que são significativamente diferentes dos problemas de alocação de ativos. Gerentes de subportfolio são tipicamente julgados relativos um benchmark apropriado para a classe de ativos e são limitados direta e indiretamente em quanto eles podem desviar do benchmark. As ferramentas tradicionais de alocação de ativos podem ser modificadas de forma natural para estudar a gestão de subportfolio. Teoria da média-variância A teoria da média-variância é um modelo importante de investimentos baseado na teoria da decisão. É o modelo mais simples de investimentos que é suficientemente rico para ser diretamente útil em problemas aplicados. A teoria da variância média foi desenvolvida nos anos 50 e 60 por Markowitz, Tobin, Sharpe e Lintner, entre outros. Ironicamente, ele ainda é chamado Modern Portfolio Theory (MPT) por algumas pessoas. Embora não seja mais o modelo mais moderno, a teoria da média-variância continua a ser a principal força de trabalho em que se baseia a gestão analítica de carteiras. A versão em equilíbrio da teoria da média-variância é chamada de Modelo de Preços de Ativos de Capital (CAPM). A característica mais bonita da teoria da variância média é a sua simplicidade. Assumindo que as preferências dependem apenas da média e da variância dos payoffs e não de outros recursos, obtemos um número de resultados robustos. Teoria da média-variância e o CAPM: idéias principais Assuma o risco em proporção ao prêmio de risco e em proporção inversa com variância e aversão ao risco. Diversificação paga. O mercado recompensa você por ter uma parcela de risco em toda a economia. O mercado não recompensa você por assumir riscos específicos de segurança (idiossincráticos). Todos os investidores possuem uma mistura de duas carteiras, uma sem risco (se houver um ativo sem risco) e a carteira de mercado. As suposições da teoria da média-variância Para o problema da decisão simples, as suposições são: Modelo do período único As preferências dependem somente da média e da variância dos retornos A uma dada média, é preferida uma variância mais baixa Em uma variância dada, uma média mais alta é preferida O pressuposto de não haver impostos ou custos de transação Para o modelo de equilíbrio (CAPM): temos as suposições acima e nenhum equilíbrio competitivo de assimetria de informação As suposições de nenhum imposto, custos de transação ou assimetria de informação são algumas vezes conhecidas coletivamente como a suposição de capital perfeito Mercados. População e estatísticas de amostra Para essas estatísticas, há versões de população (que é o que você esperaria ou o que você veria em uma grande amostra hipotética composta de toda a população de eventos possíveis) e versões de amostra dizendo o que realmente aconteceu. Por exemplo, se temos uma moeda que acreditamos ser justa, a probabilidade populacional de cabeças é de 12. Se vimos 1000 voltas desta moeda, 508 cabeças e 492 caudas, a probabilidade de amostra de cabeças é 5081000 0,508. Definiremos várias estatísticas em termos de suas versões de amostra, mas é importante ter em mente a diferença entre os valores da amostra e da população. Em muitos contextos, a versão de amostra é uma boa estimativa da versão da população. No entanto, devido à quantidade de volatilidade nos retornos de segurança, as médias da amostra podem ser estimativas muito ruins das médias da população. Como resultado, usar a versão de amostra em um modelo esperando a versão de população pode produzir prescrições bizarras. Em particular, ele pode instruí-lo a colocar montantes extremos de dinheiro em títulos e setores que realizou melhor do que o esperado no passado. Revisão: médias, variâncias e covariâncias O retorno médio, uma medida de um valor típico, é a média aritmética usual: A variância, uma medida de volatilidade ou dispersão, é o desvio quadrático médio da média: A covariância, uma medida de Co-movimento, é o produto médio de desvios da média: Covariâncias são importantes na teoria da carteira porque eles nos dizem se os riscos cancelar ou compostos quando os ativos são combinados em carteiras. Desvios de carteira de desvalorizações de ativos individuais Considere dois ativos, 1 e 2, cujos retornos têm variâncias S12 e S22. Respectivamente, e cujos retornos têm covariância S12. Em seguida, a variância de uma carteira com peso W1 no primeiro ativo e peso W2 no segundo ativo (com peso residual 1-W1-W2 no ativo sem risco) tem variância. Pode-se mostrar que - S1 S2 lt S12 lt S1 S2 Ou de forma equivalente o coeficiente de correlação S12 (S1 S2) deve estar sempre entre -1 e 1). Para um portfólio com muitos ativos, há muitos termos cruzados como o do meio aqui. Se existem n ativos, existem n termos de variância e n (n-1) 2 termos cruzados. Em uma carteira com um universo típico de ativos, estimar todas as covariâncias necessárias para os termos cruzados é uma questão prática importante, já que o número de covariâncias pode exceder o número de pontos de dados. Retornos de segurança: retornos de mercado e ruído idiossincrático. Para ações de ações, podemos pensar no retorno sendo igual a um retorno médio mais uma parte aleatória de ruído de nível de mercado mais uma parte aleatória idiossincrática para a empresa. Matematicamente, isto significa que onde meani e betai são constantes, eo ruído de mercado zm e os termos de ruído idiossincráticos ei são todos não correlacionados (e, portanto, possuem covariâncias zero). Esta suposição de que o risco idiossincrático não está correlacionado entre os ativos não é estritamente verdadeira (e os modelos multifatoriais parecem se encaixar melhor), mas essa suposição nos dará a intuição correta. Variância de ativo único A variação de um único ativo é dada por Para um estoque grande típico, poderemos ter betai .8. Var (zm) .04. Var (ei) .09, e, portanto, a variância de retorno de ativos é .1156. Neste exemplo, o desvio padrão do mercado é 20 eo desvio padrão dos ativos é sqrt (.1156) 34. Para um estoque pequeno típico, nós podemos ter betai 1.5. Var (zm) .04. E var (ei) .16. E, portanto, a variância do retorno de ativos é 0,25. Neste exemplo, o desvio padrão do mercado é 20 e o desvio padrão dos ativos é 50. O valor da diversificação Como exemplo, suponha que colocamos quantidades iguais de dinheiro em n ativos. Em seguida, a carteira resultante tem variação. À medida que a carteira se torna maior, o prazo de risco idiossincrático torna-se cada vez menos importante, e podemos aproximar o risco das carteiras pelo primeiro termo. Ordens de magnitude Seguindo o slide anterior, suponha que formamos carteiras com ativos todos com o mesmo beta 1 e desvio padrão isiossincrático .3. Suponha ainda que o desvio padrão do mercado seja 0,2. Em seguida, usando a fórmula no slide anterior, descobrimos que o desvio padrão de uma carteira é calculado como Aqui estão alguns valores desta função: número de ativos desvio padrão da carteira Embora nem todos os ativos têm a mesma variação idiossincrática, isso ainda dá uma precisão Qualitativa do valor da diversificação. Observe que a diversificação não afeta o retorno médio, que será a média dos retornos médios de ativos individuais. Opção de carteira óptima: um problema simples Não iremos passar pela álgebra da escolha de carteira óptima. A principal mensagem que tomo da álgebra é que inclinamos para cada fonte de risco não correlacionada em proporção ao retorno esperado que obtemos e em proporção inversa à variância e à aversão ao risco. Esta regra básica explica como tomar exposições consistentes a riscos diferentes. Como um primeiro problema simples, suponha que nossa mistura ótima ao escolher apenas entre ativos sem risco eo portfólio de mercado é de 50 em cada, onde a taxa sem risco é 5. O retorno médio no mercado é de 15. E o desvio padrão do mercado é de 20. Suponha, então, que temos uma Ilha de estoque que tem um beta de zero (isto significa que todo o seu risco não está correlacionado com o mercado), um retorno médio de 10. E um desvio padrão de 50. Quanto do nosso portfólio devemos investir em cada ilha, no mercado e no ativo sem risco Solução do problema simples Sabemos que o investimento em fontes de risco não correlacionadas deve ser proporcional ao seu retorno médio sobre a variância. No caso do mercado, o retorno médio sobre a variância é (15-5) .042.5 e isso justifica um compromisso de 50 da carteira. No caso do estoque de Ilha, temos um excesso de retorno médio sobre a variância de (10-5) .250.2. Uma vez que este é proporcional ao compromisso, devemos comprometer 50 (0,22.5) 4 da carteira para as ações da Ilha. Depois de cometer metade da carteira de mercado e 4 para ações da Ilha, deixamos 100-50-446 para investir no ativo sem risco. Sofisticado problema com retornos correlacionados Nosso exemplo de ações da Island Corporation tornou-se particularmente simples devido ao beta de zero, o que significava que nenhuma manipulação era necessária para tratar fontes de risco não correlacionadas. Em geral, devemos reagrupar os ativos em carteiras que fornecem peças puras em fontes de risco não correlacionadas. Suponha que a carteira de mercado e o problema de base sejam como no exemplo anterior, isto é, que nossa combinação ótima de ativos sem risco e carteira de mercado é de 50 em cada, onde a taxa sem risco é 5. O retorno médio no mercado é de 15. E o desvio padrão do mercado é de 20. Suponha, então, que temos um estoque Hitek com um beta de 1,5. Um retorno médio de 30. E um desvio padrão idiossincrático de 50. O que é a nossa exploração óptima da Hitek, a carteira de mercado eo activo sem risco? Sofisticado problema: solução No problema, não temos o nosso nível de aversão ao risco, mas vamos considerar isso implícito na nossa combinação óptima entre o mercado e O ativo sem risco. Nesse caso, o excesso de retorno médio sobre a variância 10.042,5 induziu-nos a investir metade de nossa riqueza. Para usar isso no novo problema, precisamos nos concentrar no risco não correlacionado, que é uma posição líquida com o risco de mercado removido. Neste caso, considere um investimento que é longo 100 partes de Hitek, 150 curtos no mercado, e 150 longos no ativo sem risco. Este novo investimento tem um beta de 0 (não está correlacionado com o mercado como queremos), um retorno médio de 15. E um desvio padrão de 50. O retorno médio em excesso dessa carteira é de 30 - (1,5) 15 (1,5) 5 - 5 10. Portanto, o retorno médio sobre a variância é 10,25,4. E devemos investir uma proporção de riqueza (.42.5) 50 8 nesta estratégia. Isto implica uma participação total de 50 - (1,5) 8 38 na carteira de mercado, 8 na ação Hitek e 100 - 38 - 8 54 no ativo sem risco. Opção de carteira ótima: exercício em sala Suponha que nossa combinação ótima de ativos sem risco e carteira de mercado é de 50 em cada, onde a taxa sem risco é 5. O retorno médio no mercado é de 15. E o desvio padrão do mercado é de 20. Suponha então que nós favoreçamos um estoque Bloochip com um beta de 1.0. Um retorno médio de 20. E um desvio padrão idiossincrático de 25. Qual é a nossa participação ótima na Bloochip, na carteira de mercado e no ativo sem risco
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